摘 要:本文给出了利用微分方程展开幂级数的方法,对于导数中含有原来函数因式的某些函数,比如含有指数函数的函数、含有可变上限积分的函数、分式函数等等,本方法在使用上较为简便。
关键词:微分方程幂级数Taylor级数展开式复变函数
中图分类号:G4文献标识码:A文章编号:1674-098X(2011)05(c)-0134-02
将初等复变函数展开为Taylor级数的方式通常有两类,即直接法和间接法。直接法需要计算的各阶导数,而其阶导数的一般表达式往往很复杂,不易直接表示出来,因此,人们总是避免用直接法而采用间接法。因为函数展开式是唯一的,所以两种方法所得结果一样。常用的间接法有:通过变形或变换,利用已知的Taylor展开式;利用级数的逐项积分或逐项求导;利用两个已知级数的相乘或相除;等等。这些方法在文后所列的许多专著中都有比较详细的说明。但是,如果难以找到可以利用的已知展开式,上述方法就难以实现了。本文将针对研究利用微分方程将其展开为幂级数的方法。
1 本方法的思路
以处的展开式为例。先对函数求导,因为导数中含有原来函数因式,将其还原为原来函数,得到一个微分方程
。 (1)
假设
, (2)
求导,得
, (3)
将(2)式和(3)式代入(1)式,得恒等式
。
当、和都为已知展开式的函数时,通过比较系数法确定的值后,代入⑵式,即可得到函数的Taylor展开式。
2 应用类型
本方法可以应用于以下三种类型的函数:
类型I:型函数
求导,得,因为,得微分方程
。
当为多项式函数或已知展开式的初等复变函数时,将(2)式和(3)式代入上式,通过比较系数法确定,便可以得到函数的Taylor展开式。
类型II:
求导,得,
因为,代入上式并整理,得微分方程
。
当和为多项式函数或已知展开式的初等复变函数时,可通过比较系数法确定函数的Taylor展开式的系数。
类型III:
求导,得:
,
因为,代入上式并整理,得微分方程
‘
当和为多项式函数或已知展开式的初等复变函数时,可通过比较系数法确定函数的Taylor展开式的系数。
3 应用举例
仅举一例说明本方法的应用。
例:当时,求函数（是正整数）在点处的Taylor展开式。
解:积分方程两端求导,得:
,
,
因为,代入上式得微分方程
。(4)
假设当时,有:
,
则:,
逐项积分,得:
,
根据级数的乘法可知,
(5)
其中:,,,
,……
均为待定系数。
对式(5)求导,得:
, (6)
将式(5)和式(6)代入式(4),得:
,
比较的同次幂系数,可得:
;
,解得;
,解得;
,解得;
……
由此可以推证出第个系数为:
。
所以,在点处的Taylor展开式为:
。
当然,可以用微分方程法展开为幂级数的函数不只限于上面三种类型,本文仅仅是对这种方法进行了粗浅的研究,恳请同行予以补充和修正。
参考文献
[1]同济大学数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社,2002.
[2]陈传璋,等.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2004.
[3]刘玉琏.数学分析讲义[M].北京:高等教育出版社,2003.
[4]吉米多维奇.数学分析习题集[M].北京:人民教育出版社,1980.
[5]刘连寿,王正清.数学物理方法[M].北京:高等教育出版社,2004.
[6]胡嗣柱,徐建军.数学物理方法解题指导[M].北京:高等教育出版社,2006.
[7]钟玉泉.复变函数论[M].北京:高等教育出版社,2004.